Tài liệu trình bày về dãy số, quy tắc chứng minh bằng phương pháp quy nạp và các bài tập liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân. Nó bao gồm nhiều ví dụ minh họa cũng như bài tập thực hành về tính chất của dãy số như tính tăng/giảm, bị chặn và các công thức tính tổng. Nội dung còn đề cập đến các định lý quan trọng và ứng dụng của dãy số trong toán học.

1. CHƢƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
I. PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP:
Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng n * ta làm như sau:
+ Bước 1: Kiểm tra xem P(n) đúng với n  1.
+ Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n  k (k tùy ý, k ≥ 1, k  ). Chứng minh P(n) đúng với
n  k + 1.
Kết luận P(n) đúng n * .
Ví dụ 1: Chứng minh rằng : n * u n  n3 11n chia hết cho 6.
Giải:
+ Với n  1 : u n  1 + 11  12  6.
+ Giả sử u k  6 với k > 1 ( k ). Nghĩa là ( k3  11k )  6. Chứng minh u k  1  6
Ta có : u k 1  (k 1)3 11(k 1)  k 3  3k 2  3k 1 11k 11
 (k3  11k)  3k(k 1) 12  u k  3k(k 1) 12
Vì u k  6; 3k(k 1)  6; 12  6 nên uk+1  6.
Vậy n * u n  n3 11n chia hết cho 6.
Ví dụ 2: Chứng minh : 2n > 2n + 1 (3), ( n * , n ≥ 3).
Giải:
3
+ Với n = 3, (3)  2 > 7 (đúng).
+ Giả sử (3) đúng khi n  k ( k ), nghĩa là (3)  2k > 2k + 1.
Ta chứng minh (3) đúng khi n  k +1, nghĩa là:
(3)  2k 1 > 2(k+1) + 1  2. 2k > 2k + 1 + 2.
2k  2k  1
Mà   k nên (3) đúng với n  k + 1.
2  2

Vậy 2n > 2n + 1 , ( n * , n ≥ 3).
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:
a. 1 + 3 + 5 + 7 + ….. + (2n ‒ 1)  n2. b. 2 + 4 + 6 + 8 + ….. + (2n)  n(n+1).
n(n  1) n(n  1)(n  2)
c. 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + n  . d. 1.2 + 2.3 + ….. + n.(n+1)  .
4 3
1 1 1 1 n 1 1 1 1 n
e.    .....   . f.    .....   .
1.2 2.3 3.4 n.(n 1) n 1 1.3 3.5 5.7 (2n 1).(2n 1) 2n 1
n(n 1)(2n 1) n 2 (n 1)2
g. 12  22  32  .....  n 2  . h. 13  23  33  .....  n 3  .
6 4
3(3n 1)
i. 21  22  23  .....  2n  2(2n 1) . k. 31  32  33  .....  3n  .
2
3 3
l. (n + 2n) chia hết cho 3. m. (n + 5n) chia hết cho 6.
Bài 2: Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng.
a. Chứng minh số vectơ khác vectơ không tạo thành từ n điểm đó bằng n(n ‒ 1).
n(n 1)
b. Số đoạn thẳng tạo thành từ n điểm đó là .
2
Bài 3: Chứng minh n * :
n n n n n
a. 3 ≥ 2n + 1. b. 5 ≥ 3 + 2 . c. (1 + x) ≥ 1 + nx, khi x > ‒1.
n n‒ 1 n
d. n ≥ (n + 1) . e. n  1  1  .
2
Trang 1

2. II. PHƢƠNG PHÁP XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ:
+ Cách 1:
 (un) tăng  un < un+1  un ‒ un+1 < 0, n * .
 (un) giảm  un > un+1  un ‒ un+1 > 0 , n * .
+ Cách 2:
u
 (un) tăng  un < un+1  n 1 > 1, n * (Với un > 0, n * ).
un
u
 (un) giảm  un < un+1  n 1 < 1, n * (Với un > 0, n * ).
un
III. DÃY SỐ BỊ CHẶN:
 Dãy (un) bị chặn trên  M  : un ≤ M, n * .
 Dãy (un) bị chặn dưới  m  : un ≥ m, n * .
(u ) bò chaën treân
 Dãy (un) bị chặn   n   M,m  : m≤ un ≤ M, n * .
(un ) bò chaën döôùi

n 1
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un) với u n  là dãy giảm.
n
Giải:
(n  1)  1 n  2
Ta có : u n 1   .
n 1 n 1
n  2 n 1 1
u n 1  u n     0, n  * .
n 1 n n(n 1)
 (un) là dãy số giảm.
n 1
Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (un) với u n  là dãy bị chặn.
n
Giải:
n 1 1
Ta có : u n   1   1 n *  (un) bị chặn trên.
n n
n 1
un   0 n *  (un) bị chặn dưới.
n
Vậy (un) là dãy bị chặn.
Bài tập:
Bài 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy sau:
3n 1 n 1 1
a. (un) với u n  . b. (un) với u n  n  n 2 1 . c. (un) với un  .
5n  2 n
3n 3n 2  2n  1
d. (un) với u n  n . e. (un) với u n  . f. (un) với u n  (1)n .(2n 1) .
2 n 1
Bài 2: Chứng minh các dãy số sau là dãy bị chặn:
cos (n2 ) n  (1)n
a. (un) với u n  (1)n . . b. (un) với u n  .
2 2n  1
2n  3
c. (un) với u n  .
3n  2

Bài 3: Cho dãy sau: (un) với u n  sin  (4n 1)  .

 6
a. Chứng minh rằng : un  un+3 n  0 .
b. Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Trang 2

3. IV. CẤP SỐ CỘNG:
 un+1  un + d (n ≥ 1) (* u1 : số hạng đầu tiên, * d : công sai).
 Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, ta có : un = u1+ (n ‒ 1).d
u u
 u k  k 1 k 1 (k ≥ 2).
2
 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng :
n
+ Tính theo u1, d: Sn  u1  u 2  .....  u n  [2u1  (n 1)d]
2
n
+ Tính theo u1, un : Sn  u1  u 2  .....  u n  [u1  u n ]
2
u  u  u  10
Ví dụ 1: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thỏa:  2 5 3
 .

 u 4  u 6  26
Giải:
u  u  u  10 u  d  u1  4d  u1  2d  10

Ta có :  2 5 3
   1
u 4  u 6  26
 u1  3d  u1  5d  26

u  3d  10
 u1  1

 1   .
2u1  8d  26
 
 d3
Vậy số hạng đầu của cấp số cộng u1  1 và công sai d = 3.
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng : 35, 40, …., 2000. Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng? Tính
tổng các số hạng của cấp số cộng.
Giải:
Đặt un = 2000.
Ta có : un = u1 + (n ‒ 1)d = 2000  35 + (n ‒ 1).5 = 2000  n  394.
Cấp số cộng có 394 số hạng.
n 394
Tổng các số hạng : Sn  (u1  u n )  (35  2000)  400895 .
2 2
Ví dụ 3: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối
và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số cộng đó.
Giải:
11
Sn  S11  176
  (u  u11 )  176 u11  u1  32
 u1  1

Ta có :   2 1     .
u n  u1  30
 u  u  31 u11  u1  31
 u11  31

 11 1
u11  u1  30  u1 10d  u1  3  d  3 .
Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1  1 và công sai d  3 .
V. CẤP SỐ NHÂN:
 Gọi q là công bội, theo định nghĩa cấp số nhân ta có :
u n 1  u n .q (n = 1, 2,….); (un) là cấp số nhân.
 Số hạng tổng quát của một cấp số nhân cho bởi công thức : u n  u1.qn 1 (q  0).
 u 2  u k 1.u k 1 (k ≥ 2).
k
 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân :
q n 1
Sn  u1  u 2  .....  u n  u1 (q  1).
q 1
Trang 3

4. 1
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 9 của cấp số nhân có u1 = 1 và q   .
2
Giải:
8
1 1
Ta có : u9  u1.q  1   
8
.
2 256
Ví dụ 2: Tìm x để dãy số ‒4 ; x ‒ 1 ; x lập thành cấp số nhân.
Giải:
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có :
( x 1)2  4x  x2  2x 1  0  ( x 1)2  0  x  1.
Vậy x  1 thì ‒4 ; x ‒ 1 ; x lập thành cấp số nhân.
2 32
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân có q   và u 6  . Tính tổng 6 số hạng đầu tiên S6.
3 81
Giải:
u6 32 243
Ta có : u 6  u1.q5  u1  5     3.
q 81 32
 64 
 q6 1   1 
133
Do đó : S6  u1  q 1   3  729   .
   5  81

 3  
Bài tập:
Bài 1: Nếu số đo 3 góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng thì có tìm được các góc
đó không?
Bài 2: Số đo 3 góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 góc đó.
Bài 3: Một cấp số nhân gồm 6 số hạng. Xác định cấp số nhân biết tổng 3 số hạng đầu là 168
và tổng 3 số hạng cuối là 21.
u  u  144

Bài 4: Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết :  5 3 .
u 4  u 2  72

u 2  u 5  u 3  10

Bài 5: Xác định cấp số cộng (un), biết rằng :  .
u1  u 6  7

Bài 6: Cho dãy (un) xác định bởi u1  1, u n 1  2u n  5 với mọi n > 0.
a. Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn  2un + 5 là một cấp số nhân.
b. Xác định số hạng tổng quát của dãy (un). Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy (un).
Bài 7: Cho dãy (un) xác định bởi u1  3, un+1  u n  6 , với mọi n > 0. Chứng minh rằng
dãy (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
u1  2004,u 2  2005

Bài 8: Cho dãy (un) xác định bởi :  2u n  u n 1 , với mọi n > 1.
u n 1 
 3
a. Lập dãy (vn) với vn = un+1 ‒ un . Chứng minh rằng dãy (vn) là cấp số nhân.
b. Lập công thức tính un theo n.
Bài tập:
A. Trắc nghiệm:
Câu 1: Trong các dãy (un) sau, dãy nào là dãy bị chặn?
Trang 4

5. 1 n
A. u n  n 2 1 . B. u n  n  . C. u n  2n 1 . D. u n  .
n n 1
Câu 2: Dãy số (un) là dãy số tăng nếu n * , ta có :
u u u
A. n 1  0 . B. n 1  0 . C. u n 1  u n  0 . D. n 1  1 .
un un un
Câu 3: Trong các dãy sau, dãy nào là dãy giảm?
n n 1
A. u n  2n 1. B. u n  2 . C. u n  3n 1. D. u n  .
n 1 n 1
Câu 4: Ba góc A, B, C của một tam giác lập thành một cấp số nhân vừa là cấp số cộng. Số
đo góc A bằng :
A. 300. B. 600. C. 900. D. 450.
Câu 5: Cho dãy (un) xác định bởi u n  2; u n 1  2n.u n với mọi n > 0. Giá trị của u5 là:
A. 512. B. 1024. C. 2048. D. 4096.
B. Tự luận:
Bài 6: Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) với u1  3 , công bội q  2 .
Bài 7: Cho cấp số cộng ‒3, x, 7, y. Hãy tìm các giá trị x, y.
Bài 8: Cho cấp số cộng (un) có u 2  2 ; u50  74 . Tìm số hạng đầu tiên và công sai d của (un).
4 3
Bài 9: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1   và công sai d  . Tìm số hạng u 7 .
5 4
Bài 10: Cho cấp số cộng (un) có u 4  15 và u10  39 . Tìm số hạng đầu tiên và công sai d.
Bài 11: Cho cấp số cộng biết u3  u13  80 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên S15 của cấp số cộng.
Bài 12: Xen kẽ giữa 3 và 19 còn có ba số và dãy số này lập thành cấp số cộng. Tìm ba số đó.
Trang 5

6. CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
I. GIỚI HẠN DÃY SỐ:
Bài tập: Tính các giới hạn sau :
 n3 sin 3n   n  2n5  7n2  3
a. lim 3  4
 .

b. lim  2  2  . c. lim .
 n 1   n 1  n2  3n5
2n3  7n2 sin 3n  3 5.3n  4n
d. lim . e. lim n1 n1 . f. lim ( 2n2  3  n2 1) .
n2  3n4 3 4
1 1
g. lim . h. lim 2 . i. lim n ( n  2  n ) .
n 1  n n n2
2n  3 n2  2n 1 n2  3n  2
j. lim (2n 1) 4 2 . k. lim . l. lim .
n n 2 n 1 n3  n2  n 1
n2  2003n  n 2n  3n
m. lim . n. lim ( n2  n 1  n) . o. lim n n .
2004n 2 3
n 1
p. lim(n  2) 4 2 .
n  n 1
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
3x  4 x2  2 x  3 x2  4 x  3
a. lim (x3  3x2  7 x 1) . b. lim . c. lim . d. lim .
x 2 x 3 x 1 x 2 x2 1 x 3 x2  9
1  2 x 1 x 2  3x  7 x3  3x 2  9 x  2
e. lim . f. xlim
 2 x 2  x
. g. li2
m .
x 0 3x x x3  x  6
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
x2  7 x  6 x  3x  2 x 1
a. lim . b. lim . c. lim .
x 1 ( x  1)( x  5 x  6) x 1 3 3 x 1
6 x 2  3  3x
2
x 7 2
x3  3x 2  2 x x2  x x 1 1
d. xl2
im . e. lim . f. lim 3 .
x2  x  6 x 1 x 1 x 2 3  2x 1
3
1 x  1 x 3
x 2 8 x3  1
g. lim . h. lim . i. lim 2 .
x 0 x x 8 x 1  3 x1 6 x  5x  1
2
3
4x  2 5x  2  x  2
3
x2  2
j. lim . k. lim . l. lim 2 .
x 2 x2 x 2 x2 x 2 x  x  2  2
2 x 1 x2  13x  30
m. xlim1 2
 x  2 x  5
. n. lim .
x 3
( x  3)( x2  5)
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
5x2  7 x  1
a. xlim
 2 x 2  3x  5
. b. lim ( x2 1  x) . c. lim ( 4 x2  2 x  2 x) .
x  x 
4 x3  2 x 2  3 2 x 2  x 1  x 2 x2  x  2 x
d. xlim . e. xlim . f. xlim .
 2 x3  3x  5  x4  x2  2 x  8
 x3 x2  ( x  2)3 (2 x  1)2  3x 2 x2  6 
g. xlim  2 
  2 x  1 2 x  1 
. h. xlim . i. xl 
im   2 .
 
 (2 x  3)2 (2 x  4)3
 4 x  5 x  5x  4 
j. xlim x( x2  2003  x) .

k. xlim ( 3 x3  2 x2  x) .

l. xlim ( x2  x 1  x2  x 1) .

5  3x
m. lim ( 3 x3  x2  x 2  2 x ) . n. lim ( 5x2  2 x  x 5 ) . o. lim .
x  x  x 
4 x 2  3x  1
Trang 6

7. III. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
 Định nghĩa : SGK.
 x2  5x
 ,neáu x  5
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x)  10 x  50 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
a ,neáu x  5

Giải:
x  5x
2
+ Với x < ‒5 hoặc x > ‒5 thì f ( x)  xác định  f(x) liên tục trên các khoảng
10 x  50
( ; 5) và (5 ; ) .
+ Vậy để f(x) liên tục trên  thì f(x) phải liên tục tại điểm x  ‒5.
x2  5x x( x  5) x 5 1
Ta có : lim f ( x)  lim  xlim5  xlim5   .
x 5 x 5 10 x  50  10( x  5)  10 10 2
1
Mặt khác f(‒5) = a. Vậy f(x) liên tục tại x = ‒5 thì lim f ( x)  f (5)  a   .
x 5 2
1
+ Vậy a   thì hàm số đã cho liên tục trên  .
2
ax 2 , neáu x  2
Ví dụ 2: Cho f ( x)   . Tìm a để f(x) liên tục trên  .
3
 , neáu x > 2
Giải:
+ Với x < 2, f(x) = ax xác định  f(x) liên tục trên ( ; 2) .
2
+ Với x > 2, f(x) = 3 xác định  f(x) liên tục trên (2 ; ) .
+ Vậy để f(x) liên tục trên  thì f(x) phải liên tục tại điểm x = 2.
lim f ( x)  lim ax2  4a . lim f ( x)  lim 3  3 . f(2) = 4a.
x 2 x 2 x 2 x 2
3
để f(x) liên tục tại điểm x = 2 thì lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)  4a  3  a  .
x 2 
x 2 
4
3
Vậy với a  thì hàm số đã cho liên tục trên  .
4
Bài tập:
3x  a  a
2
,khi x  1
Bài 1: Cho hàm số f ( x)   2
 .
 x  3x  1
 ,khi x  1
a. Tìm lim f ( x) và lim f ( x) .
 
x 1 x 1
b. Xác định a để hàm số liên tục trên  .
 3 3x  2  2
 ,khi x  2
 x2
Bài 2: Cho hàm số f ( x)   . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax  1 ,khi x  2

 4
 9 x 3
 , neáu x  0
Bài 3: Cho hàm số f ( x)   4 x . Xác định a để hàm số liên tục tại x  0.
 x  2a , neáu x  0

 4 x 2  3x  7
 , neáu x  1
Bài 4: Cho hàm số f ( x)   4 x  4 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax  2ax  2 , neáu x  1
2

Trang 7

8.  3x  x
 , neáu x  0
Bài 5: Cho hàm số f ( x)   2 x . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
a  2 , neáu x  0

 x 2  3x  2
, neáu x  1
Bài 6: Cho hàm số f ( x)   x  1
 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax 2  2ax  2 , neáu x  1

2 x  1 , neáu x  2


Bài 7: Cho hàm số f ( x)  5 , neáu x  2 . Hãy xét tính liên tục của hàm số.

3x 1 , neáu x  2

0 , neáu x  1


Bài 8: Cho hàm số f ( x)  ax  b , neáu 1  x  0 . Định a,b để hàm số liên tục trên  .

1

, neáu x  0
 ( x 1)3
 ,khi x  1
Bài 9: Cho hàm số f ( x)   x 1 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .

a ,khi x  1
1 , neáu x  3

Bài 10: Cho hàm số f ( x)  ax  b
 , neáu 3  x < 5 .

7

, neáu x  5
Định a,b để hàm số liên tục trên  . Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
 x 2  3x  4
 ,khi x  1
Bài 11: Cho hàm số f ( x)   x 1 .
2a 2  3ax ,khi x  1

a. Tìm lim f ( x) và lim f ( x) .
 
x 1 x 1
b. Tìm a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.
 2 3
ax  4 ,khi x  2

Bài 12: Xác định a để hàm số f(x) liên tục trên  với f ( x)   3 .
 3x  2  2 ,khi x  2

 x2
ax  5 ,khi x  4

Bài 13: Cho hàm số f ( x)   x  2 . Xác định a để hàm số liên tục tại x  4.
 ,khi x  4
 x 5 3
 x2  x  2
 ,khi x <1
Bài 14: Cho hàm số f ( x)   x 1 . Xác định a để hàm số liên tục trên  .
ax  2 ,khi x  1

 x3 2
 ,khi x  1
Bài 15: Cho hàm số f ( x)   x 1 . Định a để hàm số liên tục tại điểm x  1 .
a  4 ,khi x  1

Trang 8

9.  x2  x  6
,khi x  2
Bài 16: Cho hàm số f ( x)   x  2
 . Định a để hàm số liên tục tại điểm x  2 .
2 x  a ,khi x  2

IV. ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC:
 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì c  (a;b) sao cho
f(c) = 0 hay c là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Ví dụ: Chứng minh phương trình 2x3 ‒ 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên đoạn [‒2 ; 2].
Giải:
Đặt f(x) = 2x ‒ 6x + 1. Hàm số f(x) xác định và liên tục trên  .
3
Ta có : f(‒2)  ‒3; f(‒1)  5; f(1)  ‒3; f(2)  5.
f (2).f (1)  0  Phöông trình f( x)  0 coù moät nghieäm x1(2; 1).
f (1).f (1)  0  Phöông trình f( x)  0 coù moät nghieäm x2 (1;1).
f (1).f (2)  0  Phöông trình f( x)  0 coù moät nghieäm x3 (1;2).
Vậy phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x1, x2 , x3 [2;2] .
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh phương trình : 4x  2x2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
4
(‒1 ; 1).
Bài 2: Chứng minh rằng mọi phương trình bậc lẻ đều có ít nhất 1 nghiệm.
Bài 3: Chứng minh phương trình : x5  5x3  4x 1  0 có đúng 5 nghiệm.
Bài 4: Chứng minh phương trình : sin x ‒ x + 1  0 luôn có nghiệm.
Bài 5: Chứng minh phương trình : m( x 1)2 ( x  2)  2 x 1  0 có nghiệm với mọi m.
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình : sin x  msin 2x  0 có nghiệm với mọi m.
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình : cos x  mcos2x  0 có nghiệm với mọi m.
Trang 9

10. CHƢƠNG V: ĐẠO HÀM
I. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a ; b) , điểm x0  (a;b) .
Quy tắc tính đạo hàm của hàm f tại điểm x0 f '( x0 ) :
+ Bước 1: Tính Δy  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
y
+ Bước 2: Tính f '( x0 )  lim .
x 0 x
Hoặc :
+ Bước 1: Tính Δy  f ( x)  f ( x0 ) .
f ( x)  f ( x0 )
+ Bước 2: Tính f '( x0 )  lim .
x x
0 x  x0
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x3  2 x 1 tại x  1 .
Giải:
Ta có : Δy  f ( x)  f (1)  x  2x 1 4  x  2x  3  ( x 1)( x2  x  3) .
3 3
y ( x 1)( x2  x  3)
  x2  x  3 .
x x 1
Do đó : y '(1)  lim ( x2  x  3)  5 .
x 1
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x 1 tại điểm x  3 .
Giải:
Đặt Δx  x  3 , Δy  f (3  x)  f (3)  x  4  2 .
y x  4  2 x 1
Ta có :    .
x x x( x  4  2) x  4  2
1 1
Do đó : y '(3)  x0
lim  .
x  4  2 4
Bài tập:
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm tương ứng.
x 1
a. y  x3 1 tại x  1. b. y  tại x  0 . c. y  x  3  x tại x  1 .
x 1
d. y  x  x tại x  4 . e. y  x2  3x  2 tại x  2 .
II. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG QUY TẮC :
Công thức (SGK).
Bài tập:
Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng quy tắc:
x4 1
a. y  x2  x  3 tại x  2 . b. y  2 tại x  1 . c. y  (2 x  3)( x2  3x 1) .
x  2x
x3  2 x
d. y  (1 2 x) .
10
e. y  (5x  x  4) .
2 5
f. y  2 .
x  x 1
1
g. y  6 x( x2 1)2 . h. y  x3  x x   1 . i. y  (sin 2 x 1)4 .
x
 x
j. y  cos2 ( x2 1) . k. y  tan (2 x  5) . l. y  cot  3x 2   .
 2
2x 1 x x
m. y  x3  2 x2 1 . n. y  . o. y  tan  cot
x2 1 2 2
Trang 10

11. p. y = x tan x. q. y  ( x  2)(2x  3)4 (3x  7)5 tại x  2 .
r. y  x2  1 tại x  1. s. y  ( x 1)( x  2)( x  3) . t. y  sin x (1 cos x) .

u. y  sin5 x cos x  cos5 x sin x tại x  .
12
III. ĐẠO HÀM CẤP CAO :
Bài tập:
Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai các hàm số sau :
1
a. y  ( x  3)(2 x2  x 1) . b. y  x2  1 . c. y  cos2 x . d. y  .
x
Bài 2: Tính đạo hàm cấp 4 các hàm số :
1 1
a. y  x3  4x2  7 x 1 . b. y  sin 2 x . c. y  . d. y  .
x x 1
Bài 3: Bằng phương pháp quy nạp, tính đạo hàm cấp n của các hàm số :
1
a. y  sin x . b. y  cos x . c. y  . d. y  2sin x cos x .
x( x  1)
5x2  3x  20
Bài 4: Cho hàm số y  2 .
x  2x  3
3 4
a. Chứng minh rằng : y  5   .
x 1 x  3
b. Tìm y ( n) với n  1, n  .
Bài 5: Chứng minh rằng :
x 3
a. Với hàm số y  ta có 2(y ')2  ( y 1) y '' .
x4
b. Với hàm số y  2 x  x2 , ta có y3 y ''1  0 .
Bài 6: Cho hàm số y  x2 1 . Giải phương trình y '. y  2 x  3 .
2
Bài 7: Cho hàm số y  .
1  x2
a b
a. Tìm hai số a,b sao cho y   .
x 1 x  1
b. Tìm y ' .
III. PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
Các dạng bài tập thường gặp :
1. Phƣơng trình tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số :
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm ( x0 ; y0 ) là :
y  y0  f '( x0 ).( x  x0 )
Ví dụ : Cho hàm số y  x3  x  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm
M(‒1 ; ‒5).
Giải:
Ta có : y '  3x 1.
2
Hệ số góc tiếp tuyến tại M(‒1 ; ‒5) là y '(1)  4 .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M(‒1 ; ‒5) là : y  5  4( x 1) hay y  4 x 1 .
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc :
Cách giải :
+ Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, khi đó hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là f '( x0 )  k .
Trang 11

12. + Giải phương trình f '( x0 )  k , ta được x0 và y0 .
+ Phương trình tiếp tuyến là : y  y0  k( x  x0 ) .
1
Ví dụ : Cho hàm số y  f ( x)  x 2  2 x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số,
2
biết :
a. Hoành độ tiếp điểm bằng ‒2.
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  2 x  3 .
Giải:
a. Tung độ tiếp điểm f (2)  7 .
Ta có : f '( x)  x  2 , do đó f '(2)  4 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (‒2 ; 7) là : y  7  4( x  2)  y  4x 1.
b. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng y  2 x  3
nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến f '( x0 )  x0  2  2  x0  4 và y0  f (4)  1.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y 1  2( x  4) hay y  2x  7 .
3. Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trƣớc :
Cho đường cong y  f ( x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến
đi qua A ( xA ; yA ) cho trước.
Cách giải :
+ Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( x0 ; y0 ) : y  y0  f '(x0 )(x  x0 ) . (*)
+ Vì tiếp tuyến qua A ( xA ; yA ) nên yA  y0  f '( x0 )( xA  x0 ) . Giải phương trình này ta tìm
được x0 , thay vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ: Cho hàm số y  x3  3x2  2 có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (0;3) .
Giải:
Gọi ( x0 ; y0 )  (C) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Ta có : y0  x03  3x02  2 .
y '  3x2  6 x , suy ra y '( x0 )  3x02  6x0 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( x0 ; y0 ) : y  y '(x0).( x  x0)  y 0 . (*)
 x0  1
Vì tiếp tuyến qua A (0;3) nên 3  y '( x0 ).(0  y0 )  y0  2 x0  3x0  1  0  
3 2
x  1 .
 0 2

Với x0  1, thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến y  3x  3 .
1 15
Với x0  , thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến y  x  3 .
2 4
Bài tập:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị sau đây tại các điểm tương ứng :
1
a. f ( x)  x2  x  3 tại x  2 . b. f ( x)  2 x3  x2  5x  2 tại x  2 .
3
x  2x  2
2
Bài 2: Cho hàm số y  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại mỗi
x 1
giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Trang 12

13. Bài 3: Tìm b và c sao cho đồ thị hàm số y  x2  bx  c tiếp xúc với đường thẳng y  x tại
điểm (1 ; 1).
( x  1)2
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  , biết tiếp tuyến đi qua
x 1
điểm A (1;2) .
x 2  3x  3
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  :
1 x
a. Tại điểm có hoành độ x  3 .
b. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình x  3 y  21  0 .
Bài 6: Tìm hệ số góc tiếp tuyến với parabol y  x2  3x tại điểm (1 ; 4).
Bài 7: Cho đường cong (C) có phương trình y  x3 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại tiếp điểm có hoành độ bằng ‒1.
1
Bài 8: Cho hàm số y   x3  3x 2  5x  1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
3
(C) có hệ số góc lớn nhất.
Bài 9: Cho hàm số y  x2  3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm có hoành độ bằng ‒1.
 x 2  x ,khi x  1
Bài 10: Cho hàm số f ( x)  
 . Xác định a, b để hàm số có đạo hàm tại
ax  b ,khi x  1

x  1.
 x2 ,khi x  1
Bài 11: Tìm a và b để hàm số f ( x)   2
 có đạo hàm tại x  1 .

  x  bx  c ,khi x  1
Trang 13

14. Phần hình học:
CHƢƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vectơ.
 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
 Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định lý ba đường
vuông góc.
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng.
 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc.
 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc.
II. BÀI TẬP:
1. Trắc nghiệm:
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
  
A. a, b, c đồng phẳng nếu tồn tại một mặt phẳng chứa ba vectơ lần lượt cùng phương với
  
a, b, c .
      
B. Trong a, b, c nếu có một vectơ bằng 0 thì a, b, c đồng phẳng.
  
C. Trong a, b, c nếu có hai vectơ cùng phương thì chúng đồng phẳng.
     
D. Nếu mc  na  pb với mọi m, n, p thì a, b, c đồng phẳng.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ba vectơ nào
sau đây đồng phẳng?
  
     
     
    
  
A. AB,AC,CD . B. AB,BC,CD . C. AD,IJ,BC . D. AB,IJ,CD .
 
 
 
Câu 3: Cho tứ diện ABCD và điểm M thỏa : AM  mAB  n AC  pAD với m + n + p  1.
Điểm M thuộc mặt phẳng :
A. (ABC). B. (BCD). C. (ACD). D. (ADB).
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mệnh đề nào sau
đây là sai?
   
  
   

A. SA  SB  SC  SD  4SO . B. SA,SB,SC đồng phẳng.
  
     
 
C. SO,AB,CD đồng phẳng. D. SO,AD,BC đồng phẳng.
  
Câu 5: Trong không gian cho a, b, c . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
a  b
         a  0    
A.    a  c . B. a  b  a.b  0 . C. a.b  0    . D. | a.b || a |.| b | .
b  c
 b  0

Câu 6: Cho tứ điện đều ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó cosin của góc tạo bởi
hai đường thẳng DI và AB bằng :
3 2 3 2
A. . B. . C. . D. .
4 6 6 8
Câu 7: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AD. Khẳng định
nào sau đây là sai?
A. IJ  AB . B. AB  CD . C. AC  BD . D. AD  BC .
Câu 8: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một; OA = OB =
2a và OC  a 2 . Góc tạo bởi mặt phẳng (OAB) và mặt phẳng (ABC) có số đo bằng :
A. 900. B. 600. C. 450. D. 300.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và ΔABC vuông tại B. Mệnh đề nào sau
đây là sai?
A. Hình chóp có các mặt là tam giác vuông. B. BC  (SAB) .
Trang 14

15. C. BC  SA . D. AC  (SAB) .
Câu 10: Cho đường thẳng a, mặt phẳng (P) và điểm O tùy ý. Số đường thẳng qua O vuông
góc với a và số đường thẳng qua O vuông góc với (P) theo thứ tự là :
A. 1 và 1. B. vô số và 1. C. 1 và vô số. D. vô số và vô số.
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc tạo bởi 2 đường thẳng BD và CD’
bằng :
A. 900. B. 600. C. 450. D. 300.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên bằng nhau và đáy là ΔABC vuông tại A.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến (ABC). Khi đó H nằm ở vị trí :
A. H ≡ A. B. H là trung điểm BC.
C. H là tân đường tròn nội tiếp ΔABC. D. H là trong tâm của ΔABC.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và hai mặt phẳng (SAB), (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. (SAC)  (SBD). B. (SAB)  (ABC). C. (SAD)  (SCD). D. (SBC)  (SCD).
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB’ và CD’ bằng :
2
A. a. B. a 2 . C. a 3 . D. a .
2
Câu 15: Cho tứ diện đều cạnh a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng :
6 3
A. a . B. a . C. a 2 . D. a 3 .
3 6
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Khoảng
cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng :
ab bc
A. a 2  b2 . B. . C. . D. Kết quả khác.
a b
2 2
a b
2 2
2. Tự luận:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’. Điểm K

 

thuộc B’C’ sao cho KC'  2 KB' . Chứng minh rằng A, I, J, K đồng phẳng.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là điểm
bất kỳ trên cạnh AC, đặt AM  x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) qua M và song song với
AB, CD.
a. Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá trị lớn
nhất.
b. Chứng minh rằng chu vi của thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi
AB  CD.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông
tại A. M là một điểm tùy ý thuộc AD (M khác A và D), mặt phẳng (α) qua M và song song
với SA và CD.
a. Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a và b biết AB  a, SA  b, M là trung điểm của AD.
Bài 4: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trên hai mặt
phẳng khác nhau.
a. Chứng minh rằng AD  BC.  
b. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng AB và BD sao cho MA  k.MB ,
 
ND  k.NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA  SC, SB  SD. Gọi O là
giao điểm của AC và BD.
Trang 15

16. a. Chứng minh SO  (ABCD).
b. Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD); d’ là giao tuyến của (SBC) và (SAD). Chứng
minh rằng SO  (α), trong đó (α) là mặt phẳng chứa cả d và d’.
Bài 6: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không đồng phẳng sao cho AC  BF. Gọi
CH và FK lần lượt là 2 đường cao của ΔBCE và ΔADF. Chứng minh rằng :
a. ACH và BFK là các tam giác vuông.
b. BF  AH và AC  BK.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB  BC  a,
AD  2a. Cạnh SA  2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là điểm trên cạnh
AB với AM  x (0 < x < a); (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
a. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (P). Thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a và x.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với đáy
(BCD). Vẽ các đường cao BE, DF của ΔBCD, đường cao DK của ΔACD.
a. Chứng minh AB  (BCD).
b. Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ACD).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh SA  (ABCD) và
SA = a 3 . Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
a. Xác định (α).
b. Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
c. Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA  OB  OC  a.
Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp
đường thẳng :
a. OA và BC.
b. AI và OC.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh AB  a. Đường
thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy và SO  a. Tính khoảng cách từ AB đến (SCD).
Bài 12: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Biết góc tạo thành bởi
cạnh bên và mặt đáy là 600. Hình chiếu H của A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung
điểm cạnh B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABC) và (A’B’C’).
Trang 16